¿Cómo se escribe, exprimir o esprimir?

La única forma correcta es exprimir, lo cual significa según la RAE: extraer el zumo o líquido de una cosa. Por su parte, esprimir no se registra en el Diccionario Académico y tampoco se documenta su uso en otras fuentes, por lo que es un error ortográfico emplearla.
Por lo que podemos decir, que lo correcto es exprimir, con x y no con s. Estas dos letras no son sustituibles, el empleo de una en lugar de otra puede cambiar el significado, o en su defecto, invalidar la palabra u expresión.
Además, se escriben con x las palabras que comienzan por las secuencias siguientes: por la sílaba ex- seguida del grupo -pr-: exprés, expresamente, expresivo, exprimir, expropiar.
A continuación, estos son los significados de exprimir, tal y como lo indica el Diccionario de la lengua española (DLE): Extraer el zumo o líquido de una cosa, apretándola o retorciéndola. Sacar de alguien o algo todo el partido posible. Explotar a alguien, abusar de él. Hacer entender algo de manera explícita mediante palabras, movimientos, gestos u otros medios; expresar o manifestar eran otras formas en que este vocablo se empleaba. En la actualidad, usarlo para designar cualquier acción de este tipo está en desuso, por lo que sería incorrecto utilizarlo con estos fines.